Je viens chercher des conseils pour mon 3e essai gazon

J'habite Lorient, petit jardin, orienté sud et à présent piétiné par 2 jeunes enfants.
Gazon semé le 25/3 dernier (après retournement du terrain + nettoyage + nivelage + semi gazon rustique jardiland + rouleau), pas de pluie pendant un mois donc arrosage tous les soirs au tuyau pour que ça lève, puis un mois de pluie en mai donc grosse poussée d'un coup (1ere photo où c'est bien vert), puis grosse chaleur et temps sec sur juin (+ piétinement par mes enfants de 4 et 2 ans) et aïe aïe aïe dégradation rapide (2e photo).
On a eu un bel après midi de pluie hier donc ça a fait du bien. J'avais fait la 1e tonte hier matin.
Que me conseillez vous pour que le gazon s'installe bien? (engrais? fertilisant? stimulant racinaire?) + arrosage si trop sec?
C'est la 3e fois qu'on plante du gazon, mais la première qu'on le fait dans les règles et j'ai le courage de m'en occuper avec soin (petit jardin de 65m2 et je suis fana de jardinage)
Merci de vos conseils d'expert!